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2021年11月の統計検定1級(統計数理)
の解答を作っていく(自習用)

2021年11月21日に統計検定1級を受験しました。
結果は以下のとおりでした。

科目 統計数理 統計応用
(理工学)
結果 不合格 合格
ランク 不合格者の40%以下 成績優秀者ではない
自己採点結果 55/100 55/100

統計数理は不合格、統計応用はギリギリ合格でした。


2022年11月20に統計数理に再挑戦する計画なので、準1級受験時と同様に、解答を作成していきます。
公式問題集は2年セットでの発売であるため、21年試験の解答が発売されるのはだいぶ先になると思われます。

 

 

お断り

あくまで、自作なので正解を保証するものではありません。また、導出過程で誤りがある可能性が多分にあります。ご指摘は大歓迎ですので、よろしくお願いいたします。

はじめに

問題と略解は一般財団法人 統計質保証推進協会のサイトで公開されています。

著作権法により、無断での問題の複製・転載が禁止されているので、問題はこちらに記載しません。上のリンクから参照ください。

また、勉強、理解の都合上解答が順不同になります^_^;

問1

(1)


$E(X) = $

$\int_{0}^{\infty}xexp(-x) dx = $

$\left[-xexp(-x)\right]_0^\infty $

$+ \int_{0}^{\infty}exp(-x)dx = $ (※部分積分)

$\left[-exp(-x)\right]_0^\infty = 1$

 

$E(Y) = $

$\int_{0}^{1} xdx = $

$\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \frac{1}{2} $

(2)

$E[XY] = E[X]E[Y] = \frac{1}{2} $

(3)

マルチンゲール
統計学実践ワークブック4章 P21、22を参考にしました

$Z = X + Y  ,   W = Y $と置く。

変数変換$(Z, W) = (u(X, Y), v(X, Y))$とし、
その逆変換を$(X, Y) = (s(Z, W), t(Z, W))$とする。

その時、$(Z, W)$の確率密度関数は、以下で表せる。

$\frac{f(s(z, w), t(z, w))}{|J(s(z, w), t(z, w))|}$・・・①

①式の分母

$|J(s(z, w), t(z, w))| = $

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

よって、

①式$ = f(z-w, w)$

$= f_{X}(z-w)・f_{Y}(w)$

求める、確率密度関数$f_Z(z)$は上記を$w$について積分して求める。

$f_Z(z) = \int_{0}^{z}exp(-(z-w)) ・f_{Y}(w)dw =$・・・②

 

②式を積分範囲によって場合分けして計算する。

$0<w<1$の時、$f_{Y}(w)=1$

その他の時、$f_{Y}(w)=0$

これより、

  • $z<0$の時、$f_{Y}(w)=0$より、②式$=0$
  • $0<z<1$の時、$f_{Y}(w)=1$より、②式$= \int_{0}^{z}exp(-(z-w))dw = 1-exp(-z)$
  • $1≦z$の時、$f_{Y}(w)=0$より、②式$= \int_{0}^{1}exp(-(z-w))dw = exp(-z)(e-1)$

グラフを書くと以下のようになります。
(私は本番でグラフを書き忘れましたorz)

 

(4)

マルチンゲール
$h(x)$は、「現代数理統計学の基礎」P24 命題2.19を使って解けます。
$f_{Y}(y)$が一様分布ということがミソですね。

命題2.19

連続型確率変数$X$の分布関数を$F_{X}(x)$とし、新たに確率変数$Y$を$Y=F_{X}(x)$で定義する。この時、$Y$の確率密度関数は$f_{Y}(y)=1$, $0<y<1$となる。これは、区間$(0,1)$の一様分布である。

この命題より、$h(x)$は$F_{X}(x)$であることが分かります。

よって、
$h(x)=F_{X}(x)=$
$= \int exp(-x) dx = -exp(-x) + C$($C$:積分定数)

$\lim_{x \to \infty} h(x) \ = 1$、 $\lim_{x \to 0} h(x) \ = 0$
より、$C=1$と求まる。

ゆえに、$h(x)=1-exp(-x)$ 


$E[XY]$はどうしても係数が1/2だけ合わず、解答できていません。
が、考えた途中式までを記載します。

$E[XY] = \int  \int xy f_{XY}(x, y) dydx $ ・・・③

同時確率密度関数$f_{XY}(x, y)$ を求めて、③式を計算すれば良さそうです。

ベイズの定理より、
$f_{XY}(x, y) = f_{Y|X}(y|x)・f_{X}(x) =h(x)・f_{X}(x)$

$= exp(-x)-exp(-2x) $

これを③式に代入して、

$\int_{0}^{\infty}  \int_{0}^{1}xy・({exp(-x)-exp(-2x)}) dydx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x ({exp(-x)-exp(-2x)}) dx$

 

$=-\frac{1}{2} \left[exp(-x)-\frac{1}{4}exp(-2x)\right]_0^{\infty}$ (※部分積分)

$=\frac{3}{8}$

(どうしても、略解の$\frac{3}{4}$と合いません😂
おそらく、ベイズの定理を使用した式変形が怪しいですが、解明できておりません。。)

 

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材料工学専攻 ▶大手メーカーで生産技術▶データ解析の技術者派遣▶大手メーカーでデータサイエンティスト | データ解析やキャリアについて発信します|特許登録8件、経産省AI Quest2期修了

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