2021年11月21日に統計検定1級を受験しました。
結果は以下のとおりでした。
| 科目 | 統計数理 | 統計応用 （理工学） |
| 結果 | 不合格 | 合格 |
| ランク | 不合格者の40%以下 | 成績優秀者ではない |
| 自己採点結果 | 55/100 | 55/100 |
統計数理は不合格、統計応用はギリギリ合格でした。
2022年11月20に統計数理に再挑戦する計画なので、準1級受験時と同様に、解答を作成していきます。
公式問題集は2年セットでの発売であるため、21年試験の解答が発売されるのはだいぶ先になると思われます。
お断り
あくまで、自作なので正解を保証するものではありません。また、導出過程で誤りがある可能性が多分にあります。ご指摘は大歓迎ですので、よろしくお願いいたします。
はじめに
問題と略解は一般財団法人 統計質保証推進協会のサイトで公開されています。
著作権法により、無断での問題の複製・転載が禁止されているので、問題はこちらに記載しません。上のリンクから参照ください。
また、勉強、理解の都合上解答が順不同になります^_^;
問1
(1)
$E(X) = $
$\int_{0}^{\infty}xexp(-x) dx = $
$\left[-xexp(-x)\right]_0^\infty $
$+ \int_{0}^{\infty}exp(-x)dx = $ （※部分積分）
$\left[-exp(-x)\right]_0^\infty = 1$
$E(Y) = $
$\int_{0}^{1} xdx = $
$\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \frac{1}{2} $
(2)
$E[XY] = E[X]E[Y] = \frac{1}{2} $
(3)
$Z = X + Y , W = Y $と置く。
変数変換$(Z, W) = (u(X, Y), v(X, Y))$とし、
その逆変換を$(X, Y) = (s(Z, W), t(Z, W))$とする。
その時、$(Z, W)$の確率密度関数は、以下で表せる。
$\frac{f(s(z, w), t(z, w))}{|J(s(z, w), t(z, w))|}$・・・①
①式の分母
$|J(s(z, w), t(z, w))| = $
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\0 & 1 \end{vmatrix} = 1$
よって、
①式$ = f(z-w, w)$
$= f_{X}(z-w)・f_{Y}(w)$
求める、確率密度関数$f_Z(z)$は上記を$w$について積分して求める。
$f_Z(z) = \int_{0}^{z}exp(-(z-w)) ・f_{Y}(w)dw =$・・・②
②式を積分範囲によって場合分けして計算する。
$0<w<1$の時、$f_{Y}(w)=1$
その他の時、$f_{Y}(w)=0$
これより、
- $z<0$の時、$f_{Y}(w)=0$より、②式$=0$
- $0<z<1$の時、$f_{Y}(w)=1$より、②式$= \int_{0}^{z}exp(-(z-w))dw = 1-exp(-z)$
- $1≦z$の時、$f_{Y}(w)=0$より、②式$= \int_{0}^{1}exp(-(z-w))dw = exp(-z)(e-1)$
グラフを書くと以下のようになります。
（私は本番でグラフを書き忘れましたorz）
(4)
$f_{Y}(y)$が一様分布ということがミソですね。
命題2.19
連続型確率変数$X$の分布関数を$F_{X}(x)$とし、新たに確率変数$Y$を$Y=F_{X}(x)$で定義する。この時、$Y$の確率密度関数は$f_{Y}(y)=1$, $0<y<1$となる。これは、区間$(0,1)$の一様分布である。
この命題より、$h(x)$は$F_{X}(x)$であることが分かります。
よって、
$h(x)=F_{X}(x)=$
$= \int exp(-x) dx = -exp(-x) + C$（$C$：積分定数）
$\lim_{x \to \infty} h(x) \ = 1$、 $\lim_{x \to 0} h(x) \ = 0$
より、$C=1$と求まる。
ゆえに、$h(x)=1-exp(-x)$
$E[XY]$はどうしても係数が1/2だけ合わず、解答できていません。
が、考えた途中式までを記載します。
$E[XY] = \int \int xy f_{XY}(x, y) dydx $ ・・・③
同時確率密度関数$f_{XY}(x, y)$ を求めて、③式を計算すれば良さそうです。
ベイズの定理より、
$f_{XY}(x, y) = f_{Y|X}(y|x)・f_{X}(x) =h(x)・f_{X}(x)$
$= exp(-x)-exp(-2x) $
これを③式に代入して、
$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1}xy・({exp(-x)-exp(-2x)}) dydx$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x ({exp(-x)-exp(-2x)}) dx$
$=-\frac{1}{2} \left[exp(-x)-\frac{1}{4}exp(-2x)\right]_0^{\infty}$ （※部分積分）
$=\frac{3}{8}$
（どうしても、略解の$\frac{3}{4}$と合いません😂
おそらく、ベイズの定理を使用した式変形が怪しいですが、解明できておりません。。）
